Bab 1
Suku Banyak Sumber: www.in.gr
misalnya fungsi y = x2 – 1. Fungsi y = x2 – 1 merupakan
fungsi suku banyak. Pada bab ini konsep, tersebut akan
dikembangkan sehingga Anda akan mempelajari bagaimana
menjabarkan suku banyak menjadi perkalian beberapa suku
banyak. Cara menjabarkan suku banyak tersebut akan Anda
pelajari pada bab ini. Salah satu manfaat mempelajari bab
ini untuk menyelesaikan masalah berikut.
Hubungan antara jarak yang ditempuh x(t) dan waktu yang
dibutuhkan (t) untuk gerak sebuah mobil dinyatakan oleh
x(t) = 48t2 – 3t. Dalam hal ini, x(t) dalam meter dan t dalam
menit. Dengan menggunakan konsep suku banyak, Anda
dapat menghitung jarak mobil setelah bergerak 5 menit.
A. Pengertian Suku
Banyak
B. Menentukan Nilai
Suku Banyak
C. Pembagian Suku
Banyak
D. Teorema Sisa
E. Teorema Faktor
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan
konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan
masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
dalam pemecahan masalah.
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat
berikut dengan cara pemfaktoran dan
menggunakan rumus abc.
a. x2 – 6x + 8 = 0
b. 2x2 – 4 = 3x
2. Diketahui fungsi kuadrat .
Tentukan nilai f f , f a, dan
f
x
1 .
3. Selesaikan soal berikut dengan menggunakan
cara pembagian bersusun.
Jelaskan pula langkah-langkah yang Anda
lakukan pada pembagian ini.
a. 18)272 b. 26)479
4. Hitunglah (x – 3)(x +1)(x + 2).
5. Hitunglah (2x + 3)(3x3 – x2 + 5x –1).
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Suku Banyak
Bentuk Umum
P(x) = an xn + an–1 xn–1
+ an–2 xn–2 + ...
+ a 2 x2 + a 1 x + a 0
dicari
dengan
Nilai
Substitusi Skema
digunakan
Menyelesaikan
Persamaan Suku
Banyak
Pembagian
Suku Banyak
Teorema
Sisa
Teorema
Faktor
oleh
x – k
cara
Pembagian
Biasa Horner
ax + b
cara
Pembagian
Biasa
Horner
ax2 + bx + c
cara
Pembagian
Biasa Horner
syarat
Dapat
Difaktorkan
meliputi
dapat
ditulis
Suku Banyak 121
A. Pengertian Suku Banyak
1. Suku Banyak, Derajat Suku Banyak,
Koefisien Suku Banyak, dan Suku Tetap
Anda telah memahami bahwa grafik y = (x + 2)2 diperoleh
dengan cara menggeser grafik y = x2 sejauh 2 satuan ke kiri,
seperti diperlihatkan pada Gambar 5.1.
Adapun grafik y = (x – 1)3 diperoleh dari grafik y = x3
dengan cara menggeser grafik dari y = x3 sejauh 1 satuan ke
kanan seperti diperlihatkan pada Gambar 5.2.
Amati keempat persamaan berikut.
y = x2
y = (x + 2)2 = x2+ 4x+ 4
y = x3
y = (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1
Ruas kanan keempat persamaan itu merupakan suku
banyak dalam peubah (variabel) x. Suku banyak x3 – 3x2 +
3x – 1 terdiri atas empat suku, yaitu suku ke-1 adalah x3,
suku ke-2 adalah –3x2, suku ke-3 adalah 3x, dan suku ke-4
adalah –1.
Derajat suatu suku banyak ditentukan oleh pangkat
tertinggi dari variabel pada suku banyak tersebut. Jadi, derajat
dari suku banyak x3 – 3x2 + 3x – 1 adalah 3. Koefisien suku
banyak dari x3, x2, dan x berturut-turut adalah 1, –3, dan 3.
Adapun –1 dinamakan suku tetap (konstanta).
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suku
banyak berderajat n? Cobalah nyatakan suku banyak derajat
n secara umum.
Secara umum, suku banyak dalam peubah x berderajat
n ditulis sebagai berikut.
P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2
x xn–2 +… + a2
x x2 + a1x + a0
Cara penyusunan suku banyak berdasarkan pangkat x
yang berkurang dengan an, an–1, … , a1 adalah koefisienkoefisien
suku banyak yang merupakan konstanta real
dan an ≠ 0.
a0 = suku tetap yang merupakan konstanta real
n = derajat suku banyak dan n adalah bilanga cacah
Gambar 5.1
Gambar 5.2
y = (x + 2)2 y y = x2
–2 0 x
4
y
x
–1
1
y = (x –1)3
y = x3
Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut.
f(x) = 2x4 – 3x2 + 5x – 6
g(x) = 2x2 – 7x + 10
Tentukan
a. f(x) + g(x) b. f(x) – g(x)
c. f(x) × g(x)
Jawab:
a. f(x) + g(x) = (2x4 – 3x2 + 5x – 6) + (2x2 – 7x + 10)
= 2x4 – x2 – 2x + 4
b. f(x) – g(x) = (2x4 – 3x2 + 5x – 6) – (2x2 – 7x + 10)
= 2x4 – 5x2 + 12x – 16
c. f(x) × g(x) = (2x4 – 3x2 + 5x – 6) – (2x2 – 7x + 10)
= 2x4(2x2 – 7x + 10) – 3x2(2x2 – 7x + 10)
+ 5x(2x2 – 7x + 10) – 6(2x2 – 7x + 10)
= 4x6 – 14x5 + 20x4 – 6x4 + 21x3 – 30x2 + 10x3
– 35x2 + 50x – 12x2 + 42x – 60
= 4x6 – 14x5 + 14x4 + 31x3 – 77x2 + 92x – 60
Contoh 5.1
Misalkan, f(x) suku banyak
berderajat m dan g(x) suku
banyak berderajat n,
f(x) + g(x) adalah suku
banyak yang derajatnya
adalah maksimum m
atau n.
f(x) – g(x) = f(x) + (–g(x))
adalah suku banyak
berderajat maksimum m
atau n.
f(x) × g(x) adalah suku
banyak berderajat tepat
sama dengan
(m + n).
Ingatlah 2. Penjumlahan, Pengurangan,
dan Perkalian Suku Banyak
Diketahui, f(x) = –3x3 – x2 + 2x dan g(x) = x8 +2x5 – 15x2
+ 6x + 4.
• Penjumlahan suku banyak f(x) dengan g(x) adalah
f(x) + g(x)= (–3x3 – x2 + 2x) + (x8 + 2x5 – 15x2+ 6x + 4)
= x8 + 2x5 – 3x3 – 16x2 + 8x + 4
• Pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x)
adalah
f(x) – g(x)= f(x) + (–g(x))
= (–3x3 – x2 + 2x) + (–x8 – 2x5 + 15x2– 6x – 4)
= –x8 – 2x5 – 3x3 + 14x2 – 4x – 4
• Perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x)
adalah
f(x) × g(x) = (–3x3 – x2 + 2x) (x8 + 2x5 – 15x2 + 6x + 4)
= –3x11 – 6x8 + 45x5– 18x4 – 12x3 – x10 – 2x7 +
15x4 – 6x3 – 4x2 + 2x9 + 4x6 – 30x3 + 12x2 + 8x
= –3x11 – x10 + 2x9 –6x8 –2x7 + 4x6 + 45x5 –
3x4 – 48x3
Cobalah Anda tentukan g (x) – f(x) dan g(x) × f(x).
Apakah f(x) – g(x) = g(x) – f(x)?
Apakah f(x) × g(x) = g(x) × f(x)?
Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, kemudian bacakan
di depan kelas.
Suku Banyak 123
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Diketahui suku banyak
3x4 – 2x3 +4x2 – 7x + 15.
Tentukanlah:
a. derajat suku banyak
b. koefisien x
c. koefisien x2
d. koefisien x3
e. koefisien x4
f. suku tetap
2. Diketahui f(x) = –2x3, g(x) = 3x2 – 5x, dan
h(x) = 4 – 3x. Hitunglah:
a. f(x) . g(x)
b. f(x) .
c. f(x) .
d.
e.
B. Menentukan Nilai Suku Banyak
1. Cara Substitusi
Anda dapat menentukan nilai g(x) = sin 1
x
untuk
x = 2
dan x = 2
2
, yaitu
g 2
= sin
1
2 /
= sin
2
= 1
g 2
2
= sin 1
2 / 2
= sin π = 0.
Akan tetapi, Anda akan mengalami kesulitan jika harus
menentukan g(π) = sin
1
karena
1
bukan merupakan sudut
istimewa.
Lain halnya dengan fungsi suku banyak, berapa pun nilai
yang diberikan pada peubahnya, Anda dengan mudah dapat
menentukan nilai suku banyak itu.
Diketahui, suku banyak P(x) = 3x4 – 2x2 + 5x – 6 maka
• untuk x = 1, diperoleh P(1) = 3(1)4 – 2(1)2 + 5(1) – 6 = 0
• untuk x = –1, diperoleh P(–1) = –10
• untuk x = 0, diperoleh = –6
• untuk x + 2 = 0 atau x = –2, diperoleh P(–2) = 24
• untuk x – 2 = 0 atau x = 2, diperoleh P(2) = 44
Kemudian, misalkan suku banyak P(x) = 5x3 + 4x2 – 3x – 2
maka
• untuk x = k + 1, diperoleh
P(k + 1) = 5 (k + 1)3 + 4 (k + 1)2 – 3 (k + 1) – 2
= 5 k3 + 19k2 + 20k + 4
Tokoh
Matematika
Girolarmo Cardano
(1501–1576)
Girolarmo Cardano
menerbitkan solusi
persamaan kubik (suku
banyak berderajat tiga) dalam
buku yang berjudul Ars
Magna (1545).
Sumber: Ensiklopedi Matematika
dan Peradaban Manusia, 2002
• untuk x = k – 1, diperoleh
P(k – 1) = 5 (k – 1)3 + 4 (k – 1)2 – 3 (k – 1) – 2
= 5k3 – 11k2 + 4k
• untuk x = –k
P(–k) = –5k3 + 4k2 + 3k – 2
• untuk x = –k + 1, diperoleh
P(–k + 1) = –5k3 + 19k2 – 20k + 4
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga rumus
menentukan nilai suku banyak? Cobalah nyatakan rumus
tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah
Anda pelajari tersebut memperjelas ketentuan berikut.
Nilai suku banyak P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ...
+ a2x2+ a1x + a0, untuk x = k di mana k suatu bilangan
real adalah:
P(k) = ankn + an–1kn–1 + an–2kn–2 + ... + a2k2 + a1k + a0
2. Cara Skema
Untuk menentukan nilai dari suatu suku banyak dengan
nilai tertentu bagi peubahnya akan lebih mudah jika Anda
menggunakan cara skema dibandingkan dengan cara
substitusi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.
Diketahui, P(x) = 3x4 + 2x2 – 5x + 6
P(x) dapat pula disusun sebagai berikut.
P(x) = 3x4 + 2x2 – 5x + 6
= 3x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 6
= (3x3 + 0x2 + 2x – 5) x + 6
= [(3x2 + 0x + 2) x – 5] x + 6
= [[(3x + 0 )x + 2] x – 5] x + 6 …(1)
Jika nilai x = 2 disubstitusikan pada persamaan (1)maka
P(2) secara bertahap diperoleh sebagai berikut.
P(x) = [[(3x + 0)x + 2] x – 5]x + 6
P(2) = [[(3 2 + 0)2 + 2]2 – 5]2 + 6 = [(6 2 + 2)2 – 5]2 + 6
= (14 2 – 5) 2 + 6 = 23 2 + 6 = 52
Mari menganalisis proses pada perhitungan tersebut.
• Langkah ke-1 menghitung 3 2 + 0 = 6
• Langkah ke-2 menghitung 6 2 + 2 = 14
• Langkah ke-3 menghitung 14 2 – 5 = 23
• Langkah ke-4 menghitung 23 2 + 6 = 52
Langkah-langkah itu dapat disajikan dalam bagan
(skema) sebagai berikut.
Suku Banyak 125
Perhitungan untuk memperoleh P(2) dapat disajikan
melalui skema berikut. Namun, amatilah bahwa ada dua
operasi dalam proses ini, yaitu perkalian dan penjumlahan.
• Nilai x = 2 dituliskan pada baris pertama skema,
kemudian diikuti oleh koefisien setiap suku dari pangkat
tertinggi ke terendah dan suku tetap.
• Operasi aljabar pada skema tersebut adalah perkalian
dan penjumlahan.
• Tanda panah menyatakan “kalikan dengan nilai x = 2”.
x = 2 3 0 2 –5 6
3(2) 6(2) 14(2) 23(2)
3 6 14 23 52 P(2)
Secara umum, perhitungan nilai suku banyak
P(x) = anxn + an–1xn-1 + an–2
x n–2 + .... + a2
x 2 + a1x + a0
untuk x = k menggunakan cara skema, diperlihatkan pada
Gambar 5.3.
dengan:
An = an
An – 1 = An(k) + an – 1
An – 2 = An–1(k) + an – 2 . .
. .
. .
A2 = A3(k) + a2
A1 = A2(k) + a1
A0 = A1(k) + a0
an x = k
An(k)
An A1
an–1 an–2 a2 a0 ...
An–1 An–2
... A2
An–1(k) A3(k) A2(k) A1(k)
A0
a0
P(k)
Cara menghitung nilai suku banyak dengan menggunakan
skema ini merupakan dasar untuk melakukan pembagian suku
banyak dengan cara Horner (W. G. Horner 1786–1837).
Apakah fungsi-fungsi berikut
merupakan fungsi polinom
atau bukan? Sebutkan
alasannya.
a. P(x) = 3x3 – 2
b. P(x) = 0
c. P(x) =
1
2
2
d. P(x) = 10
e. P(x) =
x
x
1
2 1
Tantangan
untuk Anda
1. Hitunglah nilai f(x) = 2x4 – 4x3 + 4x – 2 untuk x = –6
menggunakan cara skema.
2. Suku banyak f(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 – px + 10, untuk x = 2
adalah f(2) = 38. Berapakah nilai p?
Contoh 5.2
Gambar 5.3
Skema proses perhitungan P(k).
Jawab:
1. 4
+
96 (–6)
–572
2 –4 0
+ +
2(–6) –16 (–6)
2 –16 96
–2
+
–572 (–6)
3.430
Jadi, f(–6) = 3.430.
2. 0
+
4(2)
8
2 –3 2
+ +
2(2) 1(2)
2 1 4
– p
+
8(2)
16 – p
32 – 2p
42 – 2p
10
+
f(2) = 38
f(2) = 42 – 2p
38 = 42 – 2p
2p = 4
p = 2
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan nilai p jika diketahui suku
banyak f(x) dan nilai f(x) sebagai berikut.
a. f(x) = 3x5 + 6x4 – px3 + 10x – 5 dan
f(–2) = 39
b. f(x) = x7 – px5 + 2x4 + px3 – 2x + 1 dan
f(–2) = 5
2. Hubungan antara jarak yang ditempuh
x(t) dan waktu yang dibutuhkan (t) untuk
gerak sebuah mobil dinyatakan oleh x(t)
= 48t2 – 3t. Dalam hal ini x(t) dalam meter
dan t dalam menit.
a. Tentukanlah: x(2)
b. Hitunglah jarak mobil setelah bergerak
5 menit dihitung dari titik asal.
3. Jika suku banyak 2x3 – 9x2 – 8x + 11
= (Ax + B) (x – 5) (x – 1) + C, tentukan
nilai A, B, dan C.
4. Jika 5 4 3
2 5 6 3
2
3 2
x 4x
x 2x x
A
x
Bx C
x 1x2
,
tentukan nilai A, B, dan C.
5. Data berikut menampilkan biaya (C) per
minggu untuk mencetak buku sebanyak x
buah (dalam ribuan).
Banyak Buku (x) Biaya (C)
0 100
5 128,1
10 144
13 153,5
17 161,2
18 162,6
20 166,3
23 178,9
25 190,2
27 221,8
a. Carilah selisih biaya mencetak 10.000
buku dan 13.000 buku.
b. Data tersebut dapat dimodelkan oleh
fungsi
C(x) = 0,015x3 – 0,595x2 + 9,15x
+ 98,43
Dengan menggunakan fungsi ini,
prediksikan biaya mencetak 22.000
buku per minggu.
Suku Banyak 127
C. Pembagian Suku Banyak
1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi,
dan Sisa Pembagian
Masih ingatkah Anda dengan pembagian bersusun pada
bilangan bulat? Jika ya, coba tentukan pembagian 156 oleh
8. Proses pembagian suku banyak pun mempunyai proses
yang hampir sama dengan pembagian bilangan bulat. Untuk
mengetahui hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak, Anda
perlu menguraikan suku banyak menjadi perkalian beberapa
suku banyak. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
Amati perkalian-perkalian berikut.
a. (x + 1)(x + 2)(2x – 3) = (x2 + 3x + 2)(2x – 3)
= 2x3 + 3x2 – 5x – 6
b. (x – 1)(x3 – 3) = x4 – x3 – 3x + 3
Amatilah proses perkalian tersebut dengan saksama. Dari
perkalian (x + 1)(x + 2)(2x – 3), dihasilkan suatu suku
banyak 2x3 + 3x2 – 5x – 6. Dengan kata lain, jika diberikan
atau diketahui suatu suku banyak, dapatlah suku banyak itu
difaktorkan. Dengan demikian, Anda dapat lebih mudah
melakukan pembagian terhadap suatu suku banyak.
Diketahui, P(x) = x3 – 7x2 + 4x + 50 adalah suku banyak
berderajat 3.
Pembagian P(x) oleh x – 3 dengan cara pembagian biasa
adalah sebagai berikut.
x ) x x
x x
3)7 4x50
3
3 2
3 2
–
–
–
–
4 4
4 12
2
2
4x
12x
8 50
8 24
26
x2 4x 8
Coba Anda jelaskan langkah-langkah yang dilakukan
dalam pembagian tersebut. (x – 3) adalah pembagi dari P(x),
sedangkan hasil bagi dari P(x) adalah x2 – 4x – 8 dan sisa
pembagiannya adalah 26.
Jadi, (x3 – 7x2 + 4x + 50) : (x – 3) = x2 – 4x – 8 dengan
sisa 26. Akibatnya, suku banyak P(x) dapat ditulis sebagai
x3 – 7x2 + 4x + 50 = (x – 3 ) (x2 – 4x – 8) + 26 atau
P(x) = (x – 3) × H(x) + sisa … (i),
Ada beberapa lambang
yang digunakan untuk
pembagian. Lambang yang
paling umum digunakan
adalah seperti tanda kurung
dengan garis horizontal pada
bagian atasnya ) . Tanda
kurung diperkenalkan pada
awal tahun 1500. Beberapa
waktu kemudian, tanda garis
horizontal ditambahkan.
Adapun lambang “ : “
(disebut obelus) kali pertama
digunakan sebagai pembagi
sekitar tahun 1650. Lambang
tersebut diperkenalkan oleh
Matematikawan Inggris, John
Pell.
There are several different
symbol names used or
associated with division. The
most common looks like a close
parenthesis with a horizontal bar
extending to the right at the top .
The parenthesis was introduced
in the early 1500’s and over time
the bar was added, but when
it first occurred is unclear. The
symbol “÷” is called an obelus,
and was first used for a division
symbol around 1650. The
invention is often credited to
British Mathematician John Pell.
Sumber: www.DrMath.com
Informasi
untuk Anda
Informations
for You
dengan H(x) = x2 – 4x – 8 dan sisa = 26.
Jika nilai x = 3 disubstitusikan pada persamaan (i),
diperoleh
P(3) = (3 – 3 ) × H(3) + sisa = 0 × H(3) + sisa = sisa
Jadi, sisa pembagian oleh (x – 3) terhadap P(x) adalah
P(3).
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk
umum pembagian suku banyak? Cobalah nyatakan bentuk
tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep pembagian
suku banyak yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas
ketentuan berikut.
Sisa pembagian oleh (x – k) terhadap
P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + .... + a2x2 + a1x + a0
adalah P(k) atau P(x) = (x – k) H(x) + sisa dengan sisa =
P(k).
Tentukan sisa pembagian untuk suku banyak (3x4 + 2x2 + 5x – 1)
: (x – 1).
Jawab:
Sisa = P(1) = 3.14 + 2.12 + 5.1 – 1 = 9.
Contoh 5.3
2. Pembagian Suku Banyak dengan Cara
Horner
a. Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)
Anda telah mengetahui P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2
x n – 2
+ … + a2
x 2 + a1x+a0 dibagi (x – k) hasil baginya adalah H(x)
dan sisanya P(k). Secara matematis, ditulis P(x) = (x – k)H(x)
+ sisa, dengan sisa = A0 = P(k).
Diketahui P(x) = a3x3+ a2 x2 + a1x+ a0 dan (x – k) adalah
pembagi P(x). Oleh karena P(x) berderajat 3 dan (x – k)
berderajat 1 maka derajat H(x) adalah (3 – 1) = 2 dan derajat
sisa adalah (1 – 1) = 0.
Diketahui, H(x) = b2
x 2+ b1x + b0 dan sisa = Ao maka suku
banyak P(x) dapat ditulis
a3x3 + a2
x 2 + a1x + a0= (x – k)(b2
x 2 + b1x + b0) + A0
a3
x x3+ a2
x x2 + a1x+ a 0 = b2
x x3 + (b1 – b2k)x2 + (b 0 – b1k)x + (A 0 – b 0 k)
nilai koefisien sama
Soal Terbuka
Jelaskan dengan kata-kata
Anda sendiri cara pembagian
suatu suku banyak P(x) oleh
(x – k) dengan menggunakan
cara Horner.
Suku Banyak 129
Berdasarkan kesamaan suku banyak tersebut (pada
kedua ruas), Anda dapat menentukan nilai b2, b1, b0, dan A0
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
• Langkah ke-1: b2= a3
• Langkah ke-2: b1 – b2k= a2 b1 = a2 + b2k = a2 + a3k
• Langkah ke-3: b 0 – b1k = a1 b 0 = a1+b1k = a1+(a2+ a3k)k
= a1+ a2k + a3k2
• Langkah ke-4: A0 – b0k= a0 A0= a0+ b0k
= a0 +(a1+ a2k + a3k2)k
= a0+a1k + a2k2+ a3k3.
Proses perhitungan nilai b2, b1, b0, dan A0 dapat disajikan
dalam skema berikut.
a0
+
(a1+a2k+a3k2)k
a0+a1k+a2k2 +a3k3
A0
x = k a3 a1 a2
+ +
a3k (a2+a3k)k
a1+a2k+a3a k2 2+a3a k 3
b2
b1
b0
1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari
(4x3 – 10x2 + 14x – 15) : (x –5) menggunakan cara Horner.
2. Jika fungsi suku banyak P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + px2 + 41x
+ 6 habis dibagi dengan (x – 3), tentukan nilai p.
Jawab:
1.
Jadi, hasil bagi dari (4x3 – 10x2 + 14x – 15) oleh (x –5) adalah
4x2 + 10x + 64 dan sisanya adalah 305.
2.
Px 6x5 41x4 97x3 px2 41x6habis dibagi dengan
(x – 3) maka sisa pembagiannya sama dengan nol sehingga
7.527 + 9p = 0
Contoh 5.4
x = 5 –15
+
320
305
4 –10 14
+ +
20 50
4 10 64
p
+
2.466 + 3p
2.507+ 3p
x = 3 6 41 97
+ +
18 822
6 59 274
7.521+ 9p
7.527+ 9p
41
+
6
+
177
822 + p
130 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)
Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku
banyak (x3 – 2x2 + 3x – 5) : (2x + 3), terlebih dahulu Anda
harus menuliskan bentuk (2x + 3) menjadi 2(x +
3
2
).
Dengan demikian,
(x3 – 2x2 + 3x – 5) : (2x + 3) = (x3 – 2x2 + 3x – 5) : 2(x +
3
2
).
Dengan menggunakan cara Horner untuk x = –
3
2
,
diperoleh skema sebagai berikut.
x = – 1 –2 3 –5
3
2
1
=b2 =b1 =b0 =A0 = sisa
1
3
2
7
2
3
2
33
4
3
2
7
2
33
4
139
8
Jadi, H(x) =
x2 7
2
33
4
2
1
8
x
4x2 14x33 dan
A0 =
1
8
139.
Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan
sebagai berikut.
Diketahui, k = –
b
a
maka bentuk (x – k) dapat dinyatakan
sebagai
x – k = x
b
a
b
a
x
Pembagian suku banyak P(x) oleh (x +
b
a
) memberikan
hubungan berikut.
P(x) = (x +
b
a
) H(x) + sisa
=
1
a
(ax + b) H(x) + sisa
= (ax + b) H
a
x
+ sisa ....(*)
Dari contoh tersebut, jika
pembagian suku banyak
menghasilkan sisa sama
dengan nol, dikatakan P(x)
habis dibagi oleh (x – k) dan
(x – k) disebut faktor dari P(x).
Ingatlah
9p = –7.527
p 836
1
3
Suku Banyak 131
Persamaan (*) merupakan suku banyak P(x) dibagi
(ax + b) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian.
Nilai sisa dan koefisien-koefisien H(x) ditentukan dengan
cara pembagian Horner untuk x = –
b
a
.
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari
(4x3 – 10x2 + 14x – 15) : (2x – 5) menggunakan cara Horner.
Jawab:
x
5
2 –15
+
35
20
4 –10 14
+ +
10 0
4 0 14
Jadi, hasil baginya adalah
4 14
2
2 7
2
x 2
2x dan sisanya
adalah 20.
Contoh 5.5
Dari Contoh 5.4 No. 2
diperoleh sisa pembagian
adalah nol. Dikatakan suku
banyak P(x) habis dibagi oleh
ax + b.
Ingatlah
Tugas
Buatlah kelompok yang terdiri
atas 4 orang. Setiap kelompok
membuat masing-masing 5
soal pembagian suku banyak
dengan (x – k) dan (ax + b).
Kemudian, tentukan hasil bagi
dan sisa pembagian setiap
soal. Terakhir, selidiki derajat
hasil bagi dan sisa pembagian
setiap soal tersebut.
Apa yang Anda peroleh
mengenai derajat hasil bagi
jika dibandingkan derajat P(x)
dan pembagi? Bagaimana
dengan derajat sisa pembagian
terhadap derajat
pembagi? Apakah hasil
yang Anda peroleh berlaku
umum? Untuk itu, cari di
buku internet atau tanya ahli
matematika mengenai hal ini.
Tulis dan laporkan hasilnya di
depan kelas.
c. Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c,
dengan a ≠ 0
Pembagian (x3 – x2 + 4x – 4) oleh (x2 – 1) dapat dituliskan
sebagai berikut:
P(x) = (x2 – 1 ) H(x) + sisa = (x + 1) (x – 1) H(x) + (A1x + A0)
untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(x) + (A0+ A1(1) ) = A1+ A0
untuk x = –1 diperoleh, P(–1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(–1))
= – A1 + A0
–4
+
4(1)
0
1 –1 4
+ +
1(1) 0(1)
1 0 4
P(1) = 0
x = 1
132 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Dari pembagian Horner ini diperoleh
P(1) = 0 maka A0 + A1 (1) = 0 A0 + A1 = 0
P(–1) = –10 maka A0 + A1 (–1) = –10 A0 – A1 = –10
– 2A0 = –10
A0 = –5 dan A1= 5
Dengan demikian, sisa pembagian adalah A0 + A1 x, yaitu
–5 + 5x.
Coba Anda tentukan pembagian (x3 – x2 + 4x –4) : (x2 – 1)
dengan pembagian biasa seperti pada bilangan bulat. Adapun
hasil bagi ditentukan sebagai berikut.
Jadi, H(x) = b1x + b0 = x – 1. Coba amati kembali bagan
tersebut. Sisa dari pembagian mana angka 5?
Untuk pembagian suku banyak oleh P(x) = ax2 + bx + c,
a ≠ 0, di mana P(x) tidak dapat difaktorkan maka digunakan
cara pembagian biasa, seperti pada bilangan. Adapun untuk
P(x) yang dapat difaktorkan digunakan cara pembagian biasa
dan skema Horner.
–4
+
6(–1)
–10
1 –1 4
+ +
1(–1) –2(–1)
1 –2 6
P(–1) = –10
x = –1
–4
+
4(1)
0
1 –1 4
+ +
1(1) 0(1)
1 0 4
1(–1)
1 –1 5
–1(–1)
| | | |
b1 b0
x 1
x 1
+
Suku Banyak 133
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian
dari pembagian-pembagian berikut ini
dengan cara biasa dan cara Horner.
a. (3x4 – 2x2 + 5x + 1) : (x + 1)
b. (6x3 – 4x2 + 2x) : (x – 1)
c. (2x5 – 5x3 + x2 – 1) : (x + 2)
d. (100x4 – 81) : (x – 3)
2. Tentukan sisa pembagian untuk suku
banyak berikut.
a. (2x4 – 3x3 + 2x² – 5) : (x – 2)
b. (3x4 – 4x² + 10) : (x + 3)
c. (5x5 – 2x4 + 3x3 – x2 + 6) : (x + 2)
d. (7x7) – 2x5 + 4x3 – 2x2 + x) : (x + 1)
3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian
dari soal berikut dengan cara Horner.
a. (2x4 – 5x3 + 3x2 – x + 1) : (x – 3)
b. (6x4 – 5x3 + 3x – 10) : (2x – 3)
c. (8x5 + 2x4 + 13x3 – 17x – 2) : (4x + 3)
d. (2x6 – x5 + 3x3 + x2+ 9x – 5) : (2x + 3)
e. (2x4 – 3x3 + 5x2 + x – 7) : (x2 – x + 3)
f. (6x4 + x3 + x2 + 7x) : (3x2 + 5x + 2)
D. Teorema Sisa
Diketahui, P(x) = anxn + an – 1 xn – 1+ … + a2
x 2+ a1x+ a0.
Cara Anda menentukan sisa pembagian dari pembagian suku
banyak P(x) oleh bentuk (x – k), (ax + b), dan (ax2 + bx + c),
baik dengan cara Horner maupun dengan cara pembagian
biasa telah dipelajari pada pelajaran sebelumnya.
Sekarang amatilah persamaan berikut:
P(x) = f(x) . H(x) + S
P(x) : suku banyak yang dibagi
f(x) : pembagi
H(x) : hasil bagi
S : sisa pembagian
Jika P(x) berderajat n dan f(x) berderajat m (m ≤ n) maka
derajat H(x) dan S masing-masing sebagai berikut.
• derajat H(x) adalah (n – m)
• derajat maksimum S adalah (m – 1)
1. Pembagian dengan Pembagi (ax + b)
Jika f(x) = ax + b, merupakan pembagi dari P(x) maka
hubungan antara P(x) dan f(x) dapat ditulis sebagai berikut.
P(x) = (ax + b)
H
a
x
+ S, berlaku untuk setiap x bilangan real.
134 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Carilah sisa pembagian dari (4x3 + 2x2 – 4x + 6) : (x – 3) tanpa
melakukan pembagian terlebih dahulu.
Jawab:
Suku banyak P(x) = 4x3 + 2x2 – 4x + 6 dibagi dengan (x – 3)
sisanya adalah
S = P
3
1
= P(3) (berdasarkan Teorema 6.1).
Jadi, dengan menyubstitusikan x = 3 ke dalam fungsi P(x),
diperoleh
P(3) = 4 . 33 + 2 . 32 – 4 . 3 + 6 = 120.
Dengan demikian, sisa pembagiannya adalah 120.
Contoh 5.6
Oleh karena f(x) berderajat satu maka S berderajat nol.
Jadi, konstanta S sama dengan A0.
Sisa pembagian dapat ditentukan dengan menggunakan
teorema berikut.
Teorema 5.1
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (ax + b)
maka sisanya adalah P(
b
a
).
Bukti: harus ditunjukkan bahwa S P
b
a
. Jika suku
banyak P(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b), bentuk
pembagian itu dituliskan sebagai berikut
P(x) = (ax + b) H
a
x
+ S … (1)
Selanjutnya, substitusikan nilai x =
b
a
ke persamaan
(1) sehingga diperoleh
P(
b
a
) = [a (
b
a
) + b].
H
b
a
a
+ S
= (–b + b) .
H
b
a
a
+ S
P(
b
a
) = S.
Jadi, sisa = P(
b
a
). Teorema terbukti.
Suku Banyak 135
Tentukanlah p agar pembagian (6x2+ 7x – 5) : (px – 1) menghasilkan
sisa pembagian yang bernilai 0.
Jawab:
Suku banyak P(x) = 6x2 + 7x – 5 dibagi dengan (px – 1), sisanya
adalah
S = P
1
p
(berdasarkan Teorema 5.1). Jadi, dengan
menyubstitusikan
x =
1
P
ke dalam fungsi P(x), diperoleh
P
1
p
= 6
1 2
p
+ 7
1
p
– 5
=
6 7
5 P2 p
sehingga sisa pembagian adalah S =
6 7
5 P2 p .
Sisa pembagian sama dengan nol maka berlaku
6 7
5 P2 p = 0
67 5
0
2
2
pp
p
5 7 6
0
2
2
p p
p
Penyebut tidak boleh sama dengan nol sehingga
–5p2 + 7p + 6 = 0
5p2 – 7p – 6 = 0
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
p1, 2 =
7 4 5
2 5
7 13
10
2 7 6
p1=
7 13
10
2
7 13
10
3
5 2
atau p
Jadi, p1 = 2 atau p2 =
3
5
.
Contoh 5.7
Tokoh
Matematika
Evariste Galois
(1811–1832)
Pada usia 20 tahun telah
membuktikan persamaan
suku banyak lebih dari empat
tidak bisa diselesaikan secara
langsung.
Sumber: www-history
mcs.st-andrews.ac.uk
136 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Pembagian dengan Pembagi (x – a)(x – b)
Suatu suku banyak p(x) yang dibagi oleh f(x) = (x – a)
(x – b), dapat dituliskan sebagai berikut.
P(x) = (x – a) (x – b) H(x) + S … (1)
berlaku untuk setiap x bilangan real.
f(x) = (x – a) (x – b) berderajat 2 sehingga sisanya
berderajat maksimum satu, atau S = A0 + A1x.
Coba Anda jelaskan mengapa sisanya berderajat
maksimum satu.
Dengan demikian, persamaan (1) dapat dituliskan
sebagai berikut.
P(x) = (x – a) (x – b) . H(x) + A1x + A0
Sisa dapat ditentukan dengan teorema sisa, yaitu sebagai
berikut.
• Untuk pembagi (x – a), diperoleh sisa
P(a) = 0 . H(a) + A1(a) + A0
= A1a + A0 … (2).
• Untuk pembagi (x – b), diperoleh sisa
P(b) = 0 . H(b) + A1(b) + A0
= A1b + A0 … (3).
Dari persamaan 2 dan 3, dapatkah Anda menemukan
rumus berikut.
A
P P
a b
A
aP bP
a b 1 0 a b
b a
dan
Jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 2), sisanya 8. Adapun jika
P(x) dibagi oleh (x2 – x – 6), sisanya (3x – 6). Berapa sisa pembagian
P(x) oleh (x2 – 4)?
Jawab:
Pernyataan P(x) dibagi oleh (x – 2) bersisa 8 dapat ditulis dalam
bentuk persamaan
P(x) = (x – 2) H(x) + 8 yang berlaku untuk setiap x bilangan real.
Untuk x = 2, diperoleh P(2) = 8.
Pernyataan P(x) dibagi oleh (x2 – x – 6) bersisa (3x – 6) dapat
ditulis dalam persamaan
P(x) = (x – 3) (x + 2) H(x) + 3x – 6 yang berlaku untuk setiap x
bilangan real.
• Untuk x = 3, diperoleh P(3) = 3.
• Untuk x = –2, diperoleh P(–2) = –12.
Contoh 5.8
Pembahasan Soal
Suatu suku banyak P(x) dibagi
oleh (x2 – 1) sisanya (12x – 23)
dan jika dibagi oleh (x – 2)
sisanya 1. Sisa pembagian
suku banyak oleh (x2 – 3x + 2)
adalah ....
Jawab:
(x2 – 1) = (x + 1)(x – 1)
Jika P(x) dibagi (x – 1), sisanya
S = f(1) = 12(1) – 23 = – 11.
Jika P(x) dibagi (x – 2) sisa
S = f(2) = 1 (diketahui).
Jika P(x) dibagi (x2 – 3x + 2)
= (x – 2)(x – 1) sisanya adalah
S
f f
x
f f
21
2f 1f 21
1
1
2 1
1
x
S = 12x – 23
Soal Ebtanas 1999
Suku Banyak 137
Tes Kompetensi Subbab D
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukanlah sisa pembagian soal-soal
berikut tanpa melakukan pembagian
terlebih dahulu.
a. (16x4 + 8x3 – 4x + 5) : (2x – 1)
b. (81x4 – 27x3 + 9x2 – 3x + 1) : (3x + 2)
2. Buktikan bahwa
a. (2a3 + 3a2b – b3) habis dibagi oleh
(2a – b)
b. (p4 – 8q4 – 2p2q2) habis dibagi oleh
(p +2q)
3. Tentukan sisa pembagian dari soalsoal
berikut menggunakan teorema
pembagian.
a. (x2 – 2y2 + xy) : (2x – y)
b. (p2 – 6q2 + pq) : (3q + p)
4. Tentukan nilai p agar pembagian berikut
memiliki sisa S sebagai berikut.
a. (2x4 + px2(3x + 2) – 11x – 3) : (x + 3)
dan S = 3
b. (x5 + x4– px2(x + 1) + 9x + 14) : (x – 3)
dan S = 5
5. Tentukan nilai p jika (x3 – 4x2 + 5x + p) dan
(x2 + 3x – 2) dibagi (x + 1) memberikan
sisa yang sama.
6. Tentukan nilai p dan q jika (x4 + px3
+ (q – 14)x2 + 28x – 15) habis dibagi
oleh (x2 – 2x + 1)
7. Jika P(x) dibagi oleh (x – 2), sisanya 5
dan jika dibagi (x – 1) sisanya 4. Tentukan
sisanya jika P(x) dibagi (x2 – 3x + 2).
8. Jika P(x) dibagi (x2 – 4), sisanya (3x – 7)
dan jika dibagi (x2 – 9), sisanya (5x – 13).
Tentukan sisanya jika P(x) dibagi oleh
(x +1).
Misalkan, sisa pembagian P(x) oleh x2 – 4 adalah S = A1 x + A0
maka bentuk pembagian dapat dituliskan dalam persamaan
P(x) = (x + 2) (x – 2) H(x) + A1 x +A0 yang berlaku untuk setiap
x bilangan real.
• Untuk x = 2, diperoleh P(2) = 2A1 + A0 = 8 ....(*)
• Untuk x = –2, diperoleh P(–2) = –2A1 + A0 = –12 ....(**)
Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh
A0 = –2 dan A1 = 5 (coba buktikan!)
Jadi, sisa pembagian P(x) oleh (x2 – 4) adalah
S = 5x – 2.
E. Teorema Faktor
1. Pengertian Teorema Faktor
Pandanglah suku banyak P(x) dan pembagi ax + b.
Kemudian, amati kembali Teorema 5.1 dengan saksama. Jika
sisanya 0, apa yang terjadi dengan (ax + b)? Sebagai akibat
dari Teorema 5.1, jika sisa P
b
a
= 0 maka
138 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tunjukkan bahwa (x + 5) merupakan faktor dari
P(x) = x3 + 4x2 + 11x + 30.
Jawab:
Untuk memeriksa apakah (x – k) merupakan faktor dari P(x), Anda
cukup menunjukkan bahwa P(k) = 0. Adapun P(k) dapat dihitung
dengan cara substitusi atau cara Horner.
P(–5) = (–5)3 + 4(–5)2 + 11(–5) + 30 = 0.
Oleh karena P(–5) = 0 maka (x + 5) merupakan faktor dari P(x).
Contoh 5.9
Teorema 5.2
Jika P(x) = anxn + an–1 . xn–1 + . . . + a1 . x + a0 dengan ai bilangan
bulat, i = 1, 2, ..., n dan p bilangan bulat dengan p merupakan harga
nol dari P(x) maka p adalah pembagi a0.
:
Misal, p bilangan bulat yang merupakan harga nol P(x)
maka
P(p) = an
p n + an–1 . pn–1 + … + a1 p + a0 = 0
an
p n + an–1 . p
n–1 +… + a1 p = –a 0
p(an . pn–1 + an–1 . pn–2 + … + a1) = –a0
Oleh karena p adalah bilangan bulat dan ai juga adalah
bilangan bulat maka ruas kiri persamaan tersebut merupakan
bilangan bulat.
Jadi, p pembagi dari a0 (terbukti).
Selain untuk menentukan
faktor suatu suku banyak,
teorema faktor dapat
pula digunakan untuk
menentukan koefisienkoefisien
suku banyak yang
belum diketahui.
Contoh
Tentukan nilai k sehingga
(x + 3a) merupakan faktor dari
x3 + (ak + 2a) x2 + 18a3
Jawab:
Berdasarkan teorema faktor
maka
f(–3a) = 0
(–3a)3 + (ak + 2a) (–3a)2 + 18a3
= 0
–27a3 + (ak + 2a) 9a2 + 18a3
= 0
–27a3 + 9a3k + 18a3 + 18a3 = 0
(–27 + 9k + 36) a3 = 0
(9 + 9k) a3 = 0
atau
9 + 9k = 0
9k = –9
k = –1
Ingatlah
P(x) = (ax + b) H x
a
+ 0
P(x) = (ax + b) H x
a
dengan a ≠ 0.
Hal ini menunjukkan bahwa (ax + b) adalah suatu
faktor dari P(x). Dengan demikian, dapat dikatakan jika
P(x) adalah suatu polinom, ax + b adalah pembagi, dan sisa
pembagiannya adalah 0 atau P
b
a
0 maka ax + b adalah
faktor dari P(x).
Suku Banyak 139
Tentukanlah faktor-faktor dari P(x) = x 3 + 4x2 + x – 6.
Jawab:
P(x) berderajat 3 sehingga maksimum faktornya berderajat satu
yang diperoleh 3 buah. Jika (x – k) merupakan faktor dari P(x) = x3
+ 4x2 + x – 6 maka nilai k yang diperoleh adalah pembagi bulat dari
–6, yaitu ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k tersebut disubstitusikan
pada P(x).
• Untuk k = –1 P(–1) = (–1)3 + 4(–1)2 + (–1) – 6 = –4.
P(–1) ≠ 0 maka (x + 1) bukan faktor dari P(x).
• Untuk k = 1 P(1) = 13 + 4 . 12 + 1 – 6 = 0.
P(1) = 0 maka (x – 1) faktor dari P(x).
• Untuk k = –2 P(–2) = (–2)3 + 4(–2)2 – 2 – 6 = 0
P(–2) = 0 maka (x + 2) faktor dari P(x).
• Untuk k = 2 P(2) = 23 + 4 . 22 + 2 – 6 = 20
P(2) ≠ 0 maka (x – 2) bukan faktor dari P(x).
• Untuk k = –3 P(–3) = (–3)3 + 4(–3)2 – 3 – 6 = 0
P(–3) = 0 maka (x + 3) faktor dari P(x).
• Untuk k = 3 P(3) = 33 + 4 . 32 + 3 – 6 = 60
P(3) ≠ 0 maka (x – 3) bukan faktor dari P(x).
Jadi, P(x) = x3 + 4x2 + x – 6 mempunyai satu faktor linear
(x – 1), (x + 2), dan (x + 3).
Contoh 5.10
2. Penggunaan Teorema Faktor untuk
Mencari Akar Persamaan Suku Banyak
Diketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk:
P(x) = anxn + an–1
. xn–1 + … a1x + a0
(x – k) adalah faktor linear P(x) jika dan hanya jika k akar
persamaan P(x) = 0. Jika suku banyak P(x) berderajat nmaka
persamaan P(x) = 0 maksimum mempunyai n buah akar.
Tentukan akar-akar bulat untuk suku banyak x2 – 2x – 3 = 0.
Jawab:
Akar bulat untuk x2 – 2x – 3 adalah pembagi bulat dari –3, yaitu
k = {±1, ±3}.
Suku banyak P(x) = x2 – 2x – 3 berderajat 2 sehingga maksimum
banyak akar persamaan adalah dua. Untuk memperoleh akar-akar
tersebut, hitunglah P(k) untuk setiap nilai k. (lihat Teorema 5.2)
Contoh 5.11
Hal Penting
140 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab E
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Periksalah apakah soal-soal berikut ini
merupakan faktor dari
P(x) = x4 – 2x3 – 13x2 + 14x + 24
a. (x – 1) d. (x + 2)
b. (x + 1) e. (x – 3)
c. (x – 2) f. (x + 3)
2. Tentukan p dari P(x) = 2x4 + x3 – 45x2 – 58x
+ p agar P(x) memiliki faktor
a. (x + 1)
b. (2x – 1)
3. Tentukan faktor-faktor dari suku banyak
berikut.
a. P(x) = x4 + 3x2 – 5x + 1 = 0
b. P(x) = 2x4 + x3 – 14x2 – 19x – 6
c. P(x) = 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2
d. P(x) = 4x4 + 5x3 + 7x2 – 34x + 8
4. Jika (x +1) merupakan faktor suku banyak
berikut ini, tentukan faktor lainnya.
a. px3 + x2 – 2x – 1
b. x3 + px2 – 5x – 6
c. px3 + 11x2 – 6x – 8
d. 2x4 + px3 – 29x2 – 17x + 15
5. Tentukan akar bulat dari persamaan
berikut.
a. 2x3 – x2 + 8x – 4 = 0
b. 4x4 – 15x2 + 5x + 6 = 0
c. 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = 0
d. x3 + 2x2 + ( 2 – 4)x – 2 = 0
6. Tunjukkan bahwa (x – 1) adalah faktor dari
suku banyak xn – 1 untuk setiap n bilangan
asli.
7. Tentukan nilai p agar pecahan berikut ini
dapat disederhanakan.
a. x p
x x
3 2
2
1
3x2 2 1
2 px2
b.
2 3
3 8 5
2 2
3 8 2
x p x
x x
px
8x2
8. Jika suku banyak x3 + p(x2 – 3) – qx dan
x3 + (p – 2)2 – q(x + 3) mempunyai sebuah
faktor berderajat dua yang sama, tentukan
nilai p dan q.
9. Sebuah tangki gas berbentuk seperti pada
gambar berikut.
Jika panjang tangki gas 10 m dan volumenya
20 π m3, tentukan jari-jari tangki gas.
10 m
x
• Untuk k = 1 P(1) = 12 – 2 . 1 – 3 = –4.
P(1) ≠ 0 sehingga x = 1 bukan akar persamaan suku banyak
x2 – 2x – 3 = 0.
• Untuk k = –1 P(–1) = (–1)2 – 2(–1) – 3 = 0.
P(–1) = 0 sehingga x = –1 akar persamaan suku banyak
x2 – 2x – 3 = 0.
• Untuk k = 3 P(3) = 32 – 2 . 3 –3 = 0.
P(3) = 0 sehingga x = 3 akar persamaan suku banyak
x2 – 2x – 3 = 0.
Dua buah akar persamaan suku banyak x2 – 2x – 3 = 0 telah
diperoleh, yaitu x = –1 dan x = 3 sehingga P(–3) ≠ 0. Jadi, akarakar
bulat untuk x2 – 2x – 3 = 0 adalah x = – 1 dan x = 3.
Suku Banyak 141
• Rumus umum fungsi suku banyak f(x) adalah
f(x) = ar xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + ... a0
• Fungsi suku banyak
f(x) = ar xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + ... a0
g(x) = br xn + bn – 1 xn – 1 + bn – 2 xn – 2 + ... b0
dikatakan identik jika dan hanya jika
a = bn; an – 1 = bn – 1; ...; a0 = b0
• Nilai suku banyak dapat dicari dengan cara substitusi dan
skema.
• Mencari hasil bagi dan sisa bagi dapat dilakukan dengan
pembagian bersusun atau cara horner.
• Pembagian suku banyak oleh pembagi yang berbentuk linear,
menghasilkan sisa berderajat nol.
Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.
Rangkuman
Setelah Anda mempelajari Bab 5,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang
mudah,
2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik dan
penting untuk dipelajari,
3. adakah soal tes kompetensi yang tidak dapat Anda
kerjakan?
4. apakah Anda mendiskusikan materi yang belum Anda
pahami?
Refleksi
142 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Bab 5
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Jika x3 – 12x + ka habis dibagi dengan
(x – 2) maka ia juga habis dibagi dengan ....
a. (x – 1)
b. (x + 1)
c. (x + 2)
d. (x – 3)
e. (x + 4)
2. Hasil bagi dan sisa pembagian dari suku
banyak 4x3 – 2x2+ x– 1 dibagi oleh 2x2+ x+ 1
berturut-turut adalah ....
a. (2x – 2) dan (x + 1)
b. (2x + 2) dan (x – 1)
c. (2x + 2) dan (x + 1)
d. (x + 2) dan (2x – 1)
e. (x – 2) dan (2x + 1)
3. Suku banyak f(x) dibagi oleh (x – 3)
bersisa 5 dan dibagi oleh (x + 4) bersisa
–23. Sisa dari pembagian f(x) oleh (x – 3)
(x + 4) adalah ....
a. 3x – 4
b. –4x + 17
c. –3x + 14
d. 5x – 10
e. 4x – 7
4. Jika f(x) = x3 – x + 2 dan g(x) = 2x2 + x – 1
maka f(x) × g(x) adalah ....
a. 2x5 + x4 + 3x3 – 3x2 + 3x – 2
b. 2x5 + x4 – 3x3 + 3x2 + 3x – 2
c. 2x5 + x4 – 3x3 – 3x2 + 3x + 2
d. 2x5 – x4 – 3x3 + 3x2 – 3x + 2
e. 2x5 – x4 + 3x3 – 3x2 + 3x – 2
5. Diketahui suku banyak
4x4 – 12x3 + 13x2 – 8x + a dan 6x2 – 11x + 4
Jika suku banyak itu mempunyai satu
faktor yang sama maka bilangan bulat a
adalah...
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0
6. Persamaan 2x3 + 3x2 + px + 8 = 0 mempunyai
sepasang akar yang berkebalikan.
Nilai p = ....
a. 18 d. –6
b. 6 e. –18
c. 3
7. Diketahui persamaan
A
x
B
x
x
x x
1 2
8
2 2
.
Nilai A dan B berturut-turut adalah ....
a. –2 dan 3
b. 2 dan –3
c. 3 dan –2
d. –3 dan 2
e. –3 dan –2
8. Suku banyak f(x) habis dibagi oleh (x – 1).
Sisa pembagian f(x) oleh (x – 1)(x + 1)
adalah ....
a. – 1
2
f(1)(1 – x)
b. – 1
2
f(1)(1 + x)
c. 1
2
f(–1)(1 – x)
d. 1
2
f(–1)(1 + x)
e. – 1
2
f(–1)(1 + x)
9. Diketahui f(x) = px3 + (2p – 1) x2 – 2px + 3
dan g(x) = 2px3 – 3px2 –(p + 4)x – p. Jika
sisa pembagian f(x) oleh (x + 1) sama
dengan sisa pembagian g(x) oleh (2x – 1)
maka nilai p adalah ....
a. 2
5
d. – 4
5
b. – 2
5
e. 3
5
c. 4
5
Suku Banyak 143
10. Jika f(x) = 4x4 – x3 – x2 +
1
2
x dibagi
dengan
(2x + 2 ) sisanya adalah ....
a. – 2 d.
1
2
b. –1 e.
1
2
2
c. –
1
2
11. Suku banyak f(x) = x3 – 2x2 + px + 6 habis
dibagi (x – 1). Jika dibagi dengan (x + 3)
(x + 1) sisanya adalah ....
a. 16x + 24
b. 16x – 24
c. 24x + 16
d. 24x – 16
e. –24x + 16
12. Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 – 1)
sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh
(x –2) sisanya 1. Sisa pembagian suku
banyak P(x) oleh (x2 – 3x + 2) adalah ....
a. 12x + 23
b. 12x – 23
c. 23x + 12
d. 23x – 12
e. –23x + 12
13. Sisa bagi dari (4x4 + 3x3 – x + 4) : (x2 + x –2)
adalah ....
a. 12x + 22
b. 12x – 22
c. –12x + 22
d. –12x – 22
e. 22x – 12
14. Diketahui suku banyak f (x) = x3 + ax2 + bx– 6.
Jika suku banyak ini habis dibagi oleh
(x – 3) dan (x – 2), maka sisa pembagian
f (x) oleh x2 + 5x + 6 adalah ....
a. 60(x + 1)
b. –60(x + 1)
c. 60(x – 1)
d. –60(x – 1)
e. 60(1 – x)
15. Diketahui P(x) = x3 + 3x2 + px + q. Jika
P(x) dibagi (x2 + 2x – 3) sisanya 7x + 3,
maka nilai p dan q berturut-turut adalah ....
a. 3 dan 2 d. –6 dan 0
b. –3 dan 2 e. 6 dan 0
c. –2 dan 3
16. Jika suku banyak x4 – 3x2 + ax + b
dibagi oleh x2 – 3x – 4, akan memberikan
sisa 2x + 5.
Nilai a dan b adalah ....
a. a = 35 dan b = 40
b. a = –35 dan b = 40
c. a = –35 dan b = –40
d. a = 40 dan b = –35
e. a = 40 dan b = –35
17. Banyak akar real dari persamaan
x4 – x – 3x2 + 4x – 4 = 0 adalah ....
a. 4 d. 1
b. 3 e. 0
c. 2
18. Jika f(x) dibagi dengan x + 2, sisanya
adalah 3. Jika f(x) dengan x2 – 4, sisanya
adalah ....
a. x + 5 d. x + 2
b. x + 4 e. x + 1
c. x + 3
19. Jika f(x) dibagi oleh x – 1 dan x + 1,
sisanya berturut-turut adalah 2 dan 3. Jika
g(x) dibagi oleh x – 1 dan x + 1, sisanya
berturut-turut adalah 1 dan –2.
Jika f(x) = h(x) . g(x) dibagi oleh x2 – 1
maka sisanya adalah ....
a. 4x + 2 d. 2x – 4
b. 4x – 2 e. –2x – 4
c. 2x + 4
20. Jika f(x) dibagi dengan x – 2, sisanya 24.
Jika f(x) dibagi dengan x + 5, sisanya
10. Jika f(x) dibagi dengan x2 + 3x – 10,
sisanya adalah ....
a. x + 34 d. 2x – 20
b. x – 34 e. x + 14
c. 2x + 20
144 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Tentukan f(x) + g(x), f(x) – g(x) dan
f(x) × g(x) untuk soal-soal berikut.
a. f(x) = 5x3 + 2x – 4 dan
g(x) = 3x4 – 4x – 7
b. f(x) = 6x4 – 2x3 + x + 5 dan
g(x) = 3x4 + 5x3 + 2x2 – 8
c. f(x) = (2x – 1)3 dan g(x) = (5x + 2)2
d. f(x) = (3x + 2)3 dan g(x)
= (x – 2) (x + 2)2
e. f(x) = (5 – 3x)3 dan
g(x) = (x2 – 2x) (x2 + 2x)
2. Hitunglah nilai suku banyak P(x) menggunakan
substitusi untuk soal-soal berikut
ini.
a. P(x) = 5x5 – 3x3 – x + 15 untuk x = 2
b. P(x) = 2x5 – x4 + 3x2 – 2x + 10 untuk
x = –2
c. P(x) = 3x7 – 5x4– 2x3 + 3x – 5 untuk
x = –1
d. P(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 – 3x + 5 = untuk
x
1
2
3. Carilah bilangan p dan q agar
(px3 – 5x2 – 22x + q) habis dibagi oleh
x2 – 4x – 5 dengan menggunakan cara
Horner dan cara pembagian biasa.
4. Buktikan bahwa
a. p2n – q2n habis dibagi oleh p + q
b. p2n + 1+ q2n + 1 habis dibagi oleh p + q.
Dalam hal ini n bilangan bulat positif.
5. Sebuah kotak terbuka akan dibuat dari
selembar karton. Karton tersebut berbentuk
persegipanjang dan berukuran 6 × 5 inci
(inci = 2,54 cm). Cara membuat kotak ini
adalah dengan memotong sebuah persegi
dari setiap sudutnya. Jika volume kotak
14 inci3, berapa inci2 persegi yang harus
dipotong?
x x
x
x
x x
x
x
Tidak ada komentar:
Posting Komentar